今だから話そう「幾何の問題・正解集」

《幾何の問題正解集》 ［提示問題とは］ 「三角形ＡＢＣにおいて、∠Ｂと∠Ｃの二等分線が辺ＡＣ、辺ＡＢと交わる点をそれぞれＤ、Ｅとするとき、ＢＤ＝ＣＥであるという。このとき、三角形ＡＢＣは二等辺三角形であることを証明せよ」 証明(クリックする) 解答者 解答日時 「三好解」 　三好　彰氏 1994-01-31 08:09 「船津解１」 　船津　剛男氏 1994-01-31 13:30 「船津解２」 　船津　剛男氏 1994-02-02 09:15 「井上解」 　井上　徹夫氏 1994-02-14 19:28 「北條解」 　北條　尚志氏 1995-01-11（by郵便） 「大野解1」 　大野　典昭氏 2002-4-13 7:21 「大野解２」 　大野　典昭氏 2002-10-20 10:54 「大野解３」 　大野　典昭氏 2002-10-26 11:56 「出題者解」 　木下　恂 1994-01-27 14:19 ［三好解］ △ＡＢＣの∠Ｂの二等分線と辺ＡＣとの交点をＤ、∠Ｃの二等分線と辺ＡＢとの交点をＥとする。ＢＤ＝ＣＥが与件。 △ＡＣＥの外接円と、△ＡＢＤの外接円の交点をＦとする。円周角∠Ａに対応する辺ＣＥと辺ＢＤが等長（与件）なので、二つの円は同じ大きさ。 ＦＤが円ＡＣＥと交わる点をＧとする。またＦＥが円ＡＢＤと交わる点をＨとする。１つの円弧に対応する角度は同じなので、次のようになる。 ∠ＡＦＧ＝∠ＡＦＤ＝∠ＡＢＤ＝1/2 ∠Ｂ　　　　　(1) ∠ＡＦＨ＝∠ＡＦＥ＝∠ＡＣＥ＝1/2 ∠Ｃ　　　　　(2) 四角形ＡＥＦＧは円ＡＣＥに内接するので、∠ＧＡＥ＋∠ＥＦＧ＝180ﾟとなり、 ∠ＧＡＤ＝180ﾟ－∠Ａ－∠ＡＦＥ－∠ＡＦＧ＝180ﾟ－∠Ａ－1/2（∠Ｂ＋∠Ｃ） 一方、180ﾟ＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃなので、 ∠ＧＡＤ＝1/2（∠Ｂ＋∠Ｃ） 四角形ＡＤＦＨは円ＡＢＤに内接するから、∠ＨＡＤ＋∠ＤＦＨ＝180ﾟとなり、 ∠ＨＡＥ＝180ﾟ－∠Ａ－∠ＡＦＨ－∠ＡＦＤ＝180ﾟ－∠Ａ－1/2（∠Ｂ＋∠Ｃ） ＝1/2（∠Ｂ＋∠Ｃ） よって ∠ＨＡＥ＝∠ＧＡＤ ゆえに、∠Ａ＋∠ＨＡＥ＋∠ＧＡＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝180ﾟとなり、 点Ｇ，Ａ，Ｈは一直線上にある。 円ＡＣＥと円ＡＢＤが同じ大きさであるので、辺ＡＦに対応する円周角は等しくなり、 ∠Ｇ＝∠Ｈ ゆえに△ＦＧＨは二等辺三角形である、つまりＦＨ＝ＦＧ 辺ＦＨと辺ＦＧに対応する円周角は等しいので、 ∠ＨＡＦ＝∠ＧＡＦ＝90ﾟとなる。 よって、∠ＡＦＨ＝∠90ﾟ－∠Ｈ＝∠90ﾟ－∠Ｇ＝∠ＡＦＧ (2)から∠ＡＦＨ＝1/2 ∠Ｃ、(1)から∠ＡＦＧ＝1/2 ∠Ｂ なので、∠Ｃ＝∠Ｂとなる。 ［船津解１］ １．頂点ＣからＢＤに平行線を引き、ＡＢの延長線と交わる点をＦとする。 ２．頂点ＢからＣＥに平行線を引き、ＡＣの延長戦と交わる点をＧとする。 ３．１．→　∠ＡＢＤ＝∠ＢＦＣ、∠ＤＢＣ＝∠ＢＣＦ 　　ゆえに、△ＢＣＦは２等辺三角形であり、ＢＣ＝ＢＦ ４．同様に、△ＢＣＧは２等辺三角形であり、ＢＣ＝ＣＧ ５．上記→　ＢＤ：ＣＦ＝ＡＢ：ＡＢ＋ＢＣ→ＢＤ＝ＣＦ／（１＋ＢＣ／ＡＢ） ６．同様に、ＣＥ：ＢＧ＝ＡＣ：ＡＣ＋ＢＣ→ＣＥ＝ＢＧ／（１＋ＢＣ／ＡＣ） ７．∠ＡＢＣ＜∠ＡＣＢであると仮定すると、 　　△ＢＣＤと△ＢＣＥに於て、∠ＡＢＣ＜∠ＡＣＢであるから、ＡＢ＞ＡＣ 　　△ＢＣＦと△ＢＣＧに於て、∠ＣＢＦ＞∠ＢＣＧであるから、ＣＦ＞ＢＧ ８．従って、 　　ＢＤ＝ＣＦ／（１＋ＢＣ／ＡＢ）＞ＢＧ／（１＋ＢＣ／ＡＢ） 　　　　＞ＢＧ／（１＋ＢＣ／ＡＣ）＝ＣＥ　すなわち、ＢＤ＞ＣＥ ９．同様に、∠ＡＢＣ＞∠ＡＣＢ　であると仮定すると、ＢＤ＜ＣＥ 　　また、 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ　であると仮定すると、ＢＤ＝ＣＥ 従って、ＢＤ＝ＣＥならば、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢとなり、△ＡＢＣは２等辺３角形 ［船津解２］ 　以下、記述を簡単にするために、記号を用いる。 　頂点Ａ、Ｂ、Ｃの各対辺の長さを、ａ、ｂ、ｃと表す。 　頂点Ｂ、Ｃ、の各角度を、２α、２βと表す。 　角Ｂ、Ｃの２等分線の長さを、ｘ、ｙと表す。 　問題は、「ｘ＝ｙであれば、α＝βである」を証明することである。 証明： ０．α≧（1／2）πの場合は、明らかにｙ＞ａ＞ｘである。 　　よって、α＜（1／2）πの場合について証明できればよい。 １．△ＡＢＣの面積＝底辺の長さｘ高さ＝（1／2）ａｃＳｉｎ２α ２．△ＡＢＣの面積＝△ＡＢＤの面積＋△ＣＢＤの面積 　　　　　　　　　　＝（1／2）（ｃｘＳｉｎα＋ａｘＳｉｎα） ３．Ｓｉｎ２α＝２ＳｉｎαＣｏｓα ４．１、２、３より、ｘ＝２Ｃｏｓα／（１／ａ＋１／ｃ） ５．同様にして、 ｙ＝２Ｃｏｓβ／（１／ａ＋１／ｂ） ６．もし、α＞βならば、Ｃｏｓα＜Ｃｏｓβ、ｂ＞ｃであるから、 　　ｘ＝２Ｃｏｓα／（１／ａ＋１／ｃ） 　　　＜２Ｃｏｓβ／（１／ａ＋１／ｃ） 　　　＜２Ｃｏｓβ／（１／ａ＋１／ｂ） 　　　＝ｙ 　　すなわち、　α＞βならば、ｘ＜ｙ ７．同様にして、α＜βならば、ｘ＞ｙ ８．明らかに、　α＝βならば、ｘ＝ｙ ９．従って、　　ｘ＝ｙならば、α＝β であり、△ＡＢＣは２等辺３角形 　証明終わり ［井上解］ 　三角形ＡＢＣでＢＤ，ＣＥ（角の２等分線）を長さｍ、ＢＥの長さをｂ、ＣＤの長さをａ、底辺の長さｃ、ＤＥの長さをｄ、角ＡＢＣ、ＡＣＢの二等分角の大きさをそれぞれα、βとすると、 　　a2=m2+c2-2cmcosα　‥‥‥(1) 　　b2=m2+c2-2cmcosβ　‥‥‥(2) 　　d2=m2+b2-2bmcosα　‥‥‥(3) 　　d2=m2+a2-2amcosβ　‥‥‥(4) (1),(2)より、 　　cosα=(m2+c2-a2)/(2cm)　‥‥‥(5) 　　cosβ=(m2+c2-b2)/(2cm)　‥‥‥(6) (5),(6)を(3),(4)に代入して、 　　d2=m2+b2-2bm(m2+c2-a2)/(2cm)　‥‥‥(7) 　　d2=m2+a2-2am(m2+c2-b2)/(2cm)　‥‥‥(8) (7),(8)から 　　b2-b/c(m2+c2-a2)=a2-a/c(m2+c2-b2) これを変形すると、 　　(a-b){c2-(a+b)c+(m2+ab)}=0　‥‥‥(9) 従って、a=b　‥‥‥(10) または、c2-(a+b)c+(m2+ab)=0　‥‥‥(11) ということになりますが(11)の判別式は 　　D=(a+b)2-4(m2+ab) =(a-b+2m)(a-b-2m)　‥‥‥(12) ここで、３角形の２辺の和は他の１辺より長い(a+m>c, b+m>c, c+m>a, c+m>b) ことを利用して、 　　a-b+2m=(a+m)-b+m>c-b+m=(c+m)-b>0　‥‥‥(13) 　　a-b-2m=a-m-(b+m) 即ち、D<0で、(9)が成り立つためには、a=b。 従って、３辺の等しい３角形の合同からα=βが導かれ、元の３角形が二等辺３角形であることが証明できます。 ［北條解］ ＢＤ＝ＣＥならば、∠Ｂ=∠Ｃを証明する。 【証明】 ＢＤ，ＣＥの交点をＦとする。 　α=１／２∠Ａ 　β=１／２∠Ｂ 　γ=１／２∠Ｃ 　Ｆからの垂線の長さをｒ とすれば 　ＢＦ＝ｒ・sec（α＋γ） 　ＦＤ＝ｒ・sec（α－γ） ∴ＢＤ=ｒ・｛sec（α＋γ）＋sec（α－γ）｝　‥‥(1) 　ＣＦ＝ｒ・sec（α＋β） 　ＦＥ＝ｒ・sec（α－β） ∴ＣＥ=ｒ・｛sec（α＋β）＋sec（α－β）｝　‥‥(2) (1),(2)から ∴ＢＤ＝ＣＥならば、γ=β ∴∠Ｂ=∠Ｃ 【証明終】 ［大野解１］ ①ＢＤ／ｓｉｎ（２γ）＝ａ／ｓｉｎ（β＋２γ） 　ＣＥ／ｓｉｎ（２β）＝ａ／ｓｉｎ（２β＋γ） ②ｓｉｎ（２γ）／ｓｉｎ（２β） 　＝ｓｉｎ（β＋２γ）／ｓｉｎ（２β＋γ） 　＝　（ｓｉｎβｃｏｓ２γ＋ｃｏｓβｓｉｎ２γ） 　　／（ｓｉｎ２βｃｏｓγ＋ｃｏｓ２βｓｉｎγ） ③　ｓｉｎ２γｓｉｎ２βｃｏｓγ＋ｓｉｎ２γｃｏｓ２βｓｉｎγ 　－ｓｉｎ２βｓｉｎβｃｏｓ２γ－ｓｉｎ２βｃｏｓβｓｉｎ２γ＝０ ④　４ｓｉｎγｃｏｓγｓｉｎβｃｏｓβｃｏｓγ 　＋２ｓｉｎγｃｏｓγ（ｃｏｓβ2－ｓｉｎβ2）ｓｉｎγ 　－２ｓｉｎβｃｏｓβｓｉｎβ（ｃｏｓγ2－ｓｉｎγ2） 　－４ｓｉｎβｃｏｓβｃｏｓβｓｉｎγｃｏｓγ＝０ ⑤　ｓｉｎβ2・ｓｉｎγ2（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　－２ｓｉｎβ・ｃｏｓβ・ｓｉｎγ・ｃｏｓγ（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　－ｃｏｓβ2・ｓｉｎγ2・ｃｏｓγ 　＋ｓｉｎβ2・ｃｏｓγ2・ｃｏｓβ＝０ ⑥　ｓｉｎβ2・ｓｉｎγ2（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　－２ｓｉｎβ・ｃｏｓβ・ｓｉｎγ・ｃｏｓγ（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　－ｃｏｓβ2・（１－ｃｏｓγ2）・ｃｏｓγ 　＋（１－ｃｏｓβ2）・ｃｏｓγ2・ｃｏｓβ＝０ ⑦　ｓｉｎβ2・ｓｉｎγ2（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　－２ｓｉｎβ・ｃｏｓβ・ｓｉｎγ・ｃｏｓγ（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　＋ｃｏｓβ2・ｃｏｓγ2（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ） 　＋ｃｏｓβ・ｃｏｓγ（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ）＝０ ⑧｛（ｓｉｎβｓｉｎγ－ｃｏｓβｃｏｓγ）2＋ｃｏｓβｃｏｓγ｝ 　＊（ｃｏｓβ－ｃｏｓγ）＝０ →　　ｃｏＳγ＝ｃｏｓβ　　　　０＜β、γ＜９０度 　　　γ＝β 　　　Ｃ＝Ｂ となります。 ［大野解２］ 仮定：三角形ＡＢＣで∠Ｂと∠Ｃの二等分線、ＢＥ＝ＣＦ 結論：∠Ｂ＝∠Ｃ 証明：これを直接示す代わりに、対偶の　∠Ｂ≠∠Ｃ　⊃　ＢＥ≠ＣＦ　を示す。 一般に三角形ＡＢＣで、次が成り立つ。 　　ＡＢ≧ＡＣ　ならば　∠Ｂ≦∠Ｃ　（複合同順）であり、逆も成り立つ 　　△ＡＢＣの内部に点Ｐをとると、∠ＢＰＣ＞∠ＢＡＣ また、円周上の点ＡＢＣＤＥには、次のような関係がある。 　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＜∠ＡＤＥ 証明の道筋：∠Ｂ＜∠Ｃ　として、ＣＦ＜ＢＥ　を示す。 記号を次のように定める。 　　Ｅ：∠Ｂの二等分線とＡＣとの交点 　　Ｆ：∠Ｃの二等分線とＡＢとの交点 　　Ｉ：内心（ＢＥとＣＦとの交点） 　　Ｐ：ＥＰ∥ＦＣ、ＣＰ∥ＦＥなる点 　　Ｑ：３点Ｆ，Ｅ，Ｃ　を通る円と線分ＢＣとの交点 （ＢとＣとの中間またはその延長線上にくる（ＣＢの延長線上にはこない）＊） 　　β：∠Ｂ／２ 　　γ：∠Ｃ／２ 　　ε：∠ＦＥＩ（＝∠ＦＥＢ） 　　ζ：∠ＥＦＩ（＝∠ＥＦＣ） すると、次のような関係がある。 　　ＣＰ＝ＦＥ　‥‥‥① 　　ＥＰ＝ＦＣ　‥‥‥② 　　０＜β＜γ＜∠Ｒ　‥‥‥③ 　　０＜β＋γ＜∠Ｒ　‥‥‥④ 　　∠ＥＰＣ＝∠ＥＦＣ　‥‥‥⑤ 証明：εとζの大きさにより、場合を２つに分ける。 Ⅰ．ε≦ζ（∠ＩＥＦ≦∠ＩＦＥ） 　　△ＩＥＦで、ε（＝∠ＩＥＦ）≦ζ（＝∠ＩＦＥ）　であるから 　　　　ＩＦ≦ＩＥ。 　　また、△ＩＢＣで、β（＝∠ＩＢＣ）＜γ（＝∠ＩＣＢ）　であるから 　　　　ＩＣ＜ＩＢ。 　　すなわち 　　　　ＣＦ（＝ＩＦ＋ＩＣ）＜ＢＥ（＝ＩＥ＋ＩＢ）。 　これは求めるものである。 Ⅱ．ε＞ζ（∠ＩＥＦ＞∠ＩＦＥ）　‥‥‥⑥ （証明の道筋：△ＥＢＰで∠ＥＢＰ＜∠ＥＰＢを示すことにより、ＥＰ＜ＥＢを示す。 　　　　　　　　　そのため、ＦＥ＜ＢＰを示す。） １．（＊）ＱがＣＢの延長線上にはこないことを示す。 　　もしも、ＱがＣＢの延長線上であると、ＥＢの延長線上に○ＦＥＣＱとの交点がある。 　　この交点をＸとすると、 　　　　∠ＦＸＥ＜∠ＦＢＥ（＝β） 　（Ｂは△ＦＸＥの辺ＥＸ上） 　　　　∠ＦＸＥ＝∠ＦＣＥ（＝γ）。　（ＦＥＣＸは同一円上：円周角不変） 　　これは、仮定③β＜γ　に反する。 ２．△ＦＢＥでＦＥ＜ＦＢを示す。 　　ＱがＢＣ上にある場合と、ＢＣの延長線上にある場合に分けて考える。 （１）ＱがＢＣ上にある場合 　　次の関係がある。 　　　　∠ＥＢＣ（＝β）＜∠ＥＱＣ　　（ＱはＢＣ上） 　　　　∠ＥＱＣ＝∠ＥＦＣ（＝ζ）　　（ＦＥＣＱは同一円周上） 　　すなわち 　　　　β＜ζ　‥‥‥⑦ 　　⑥と⑦から 　　　　β＜ζ＜ε　‥‥‥⑧ 　　△ＦＢＥで、 　　　　∠ＦＢＥ（＝β）＜∠ＦＥＢ（＝ε） 　　であるから、 　　　　ＦＥ＜ＦＢ。　‥‥‥⑨ 　　これが求めるものである。 （２）ＱがＢＣの延長線上にある場合 　　次の関係がある。 　　　　∠ＥＢＣ（＝β）＜∠ＥＣＱ　　（ＱはＢＣの延長線上） 　　　　∠ＥＣＱ＝∠ＥＦＱ　　　　　　（ＦＥＱＣは同一円周上） 　　　　∠ＥＦＱ＜∠ＥＦＣ（＝ζ）　　（ＦＣ＜ＦＱ） 　　すなわち 　　　　β＜ζ　‥‥‥⑩ 　　⑥と⑩から 　　　　β＜ζ＜ε　‥‥‥⑪ 　　△ＦＢＥで、 　　　　∠ＦＢＥ（＝β）＜∠ＦＥＢ（＝ε） 　　であるから、 　　　　ＦＥ＜ＦＢ。　‥‥‥⑫ ３．□ＢＦＥＣでＦＥ＜ＢＣを示す。 　　まず、△ＢＦＣでＢＦ＜ＢＣを示す。 　　　　∠ＢＦＣ＝２∠Ｒ－２β－γ 　　であるから、④β＋γ＜∠Ｒ　を考慮に入れて、 　　　　γ＜∠ＢＦＣ。 　　すなわち 　　　　ＢＦ＜ＢＣ。　‥‥‥⑬ 　　⑨と⑫、そして⑭より 　　　　ＦＥ＜ＢＣ。　‥‥‥⑭ ４．△ＥＢＰで　ＥＰ＜ＥＢ　を示す。 △ＣＢＰにおいて、①ＣＰ＝ＦＥと　⑭ＦＥ＜ＢＣから 　　　　ＣＰ＜ＣＢ。 　　すなわち 　　　　∠ＣＢＰ＜∠ＣＰＢ。　‥‥‥⑮ 　　△ＥＢＰにおいて 　　　　∠ＥＢＰ＝∠ＥＢＣ＋∠ＣＢＰ 　　　　∠ＥＰＢ＝∠ＥＰＣ＋∠ＣＰＢ であり、⑤⑧⑪⑮から 　　　　∠ＥＢＰ＜∠ＥＰＢ。　‥‥‥⑯ 　　すなわち 　　　　ＥＰ＜ＥＢ。　‥‥‥⑰ すなわち 　　　　ＣＦ＜ＢＥ。　‥‥‥⑱ これが求めるものである 以上 ［大野解３］ 仮定：三角形ＡＢＣで∠Ｂと∠Ｃの二等分線、ＢＥ＝ＣＦ 結論：∠Ｂ＝∠Ｃ 証明：これを直接示す代わりに、対偶の　∠Ｂ≠∠Ｃ　⊃　ＢＥ≠ＣＦ　を示す。 一般に三角形ＡＢＣで、次が成り立つ。 　ＡＢ≧ＡＣ　ならば　∠Ｂ≦∠Ｃ　（複合同順）であり、逆も成り立つ 　△ＡＢＣの内部に点Ｐをとると、∠ＢＰＣ＞∠ＢＡＣ また、円周上の点ＡＢＣＤＥには、次のような関係がある。 　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＜∠ＡＤＥ 　　　∠ＡＢＣ＜∠ＡＢＤ＜∠Ｒ　ならば、ＡＣ＜ＡＤ 証明の道筋：∠Ｂ＜∠Ｃ　として、ＣＦ＜ＢＥ　を示す。 記号を次のように定める。 　　Ｅ：∠Ｂの二等分線とＡＣとの交点 　　Ｆ：∠Ｃの二等分線とＡＢとの交点 　　Ｉ：内心（ＢＥとＣＦとの交点） 　　Ｐ：○ＦＥＢとＢＣの延長線との交点 　　Ｑ：○ＦＥＣとＢＣ（の延長線）との交点 証明：∠ＩＥＦと∠ＩＦＥの大きさにより、場合を２つに分ける。 Ⅰ．∠ＩＥＦ≦∠ＩＦＥ 　　△ＩＥＦで、∠ＩＥＦ≦∠ＩＦＥ　であるから 　　ＩＦ≦ＩＥ。 　　また、△ＩＢＣで、∠ＩＢＣ＜∠ＩＣＢ　であるから 　　　　ＩＣ＜ＩＢ。 　　すなわち 　　　　ＣＦ（＝ＩＦ＋ＩＣ）＜ＢＥ（＝ＩＥ＋ＩＢ）。 　これは求めるものである。 Ⅱ．∠ＩＥＦ＞∠ＩＦＥ 点ＦＥＢを通る円と点ＦＥＣを通る円の２つの円を考える。すると、○ＦＥＢと○ＦＥＣとは、点Ｅ・点Ｆ以外では交わらない。 　　（もしも点Ｒで交わるとすると、○ＦＥＢにおいて 　　　　∠ＦＢＥ＝∠ＦＲＥ、 　　　　　　　　　　　　　　　　　○ＦＥＣにおいて 　　　　∠ＦＣＥ＝∠ＦＲＥ 　　　となり、∠ＦＢＥ＜∠ＦＣＥと矛盾する。） 以下、ＦＣ＜ＦＰ＜ＥＢ　を示す。 ここで、○ＦＥＣが線分ＢＣと交わる点Ｃ以外の点Ｑが、ＢＣ上にある場合を考える。 まず、ＦＣ＜ＦＰを示すため、∠ＦＰＣ＜∠ＦＣＰを示す。 　　∠ＦＰＣ＜∠ＦＣＢ＜∠Ｒ　　　（ＣはＢＰ上） 　　∠ＦＣＰ＝２∠Ｒ－∠ＦＣＢ＞∠Ｒ。 すなわち、∠ＦＰＣ＜ＦＣＰ。 △ＦＰＣで、∠ＦＰＣ＜ＦＣＰ　であるから、 　　ＦＣ＜ＦＰ が示された。 次に、ＦＰ＜ＥＢを示すため、∠ＦＢＰ＜∠ＥＰＢを示す。 　　∠ＦＢＰ＝∠ＦＢＥ＋∠ＥＢＰ 　　　　　　＝∠ＦＰＥ＋∠ＥＢＰ　（○ＦＥＰＢ上の円周角） 　　　　　　＜∠ＦＰＥ＋∠ＥＱＣ　★１（ＱはＢＣ上） 　　　　　　＝∠ＦＰＥ＋∠ＥＦＣ　★２（○ＦＥＣＱ上の円周角） 　　　　　　＜∠ＦＰＥ＋∠ＦＥＢ　（Ⅱの仮定） 　　　　　　＝∠ＦＰＥ＋∠ＦＰＢ　（○ＦＥＰＢ上の円周角） 　　　　　　＝∠ＥＰＢ となり、∠ＦＢＰ＜∠ＥＰＢが示された。 また、∠ＥＰＢが∠Ｒより小さいことが次のように示される。 　　∠ＥＰＢ＝∠ＦＰＥ＋∠ＦＰＢ 　　　　　　＜∠ＦＰＥ＋∠ＦＣＢ 　　　　　　＝∠ＦＢＥ＋∠ＦＣＢ 　　　　　　＜∠Ｒ。 ○ＦＥＰＢ上で、∠ＦＢＰ＜∠ＥＰＢ＜∠Ｒ　であるから、 　　ＦＰ＜ＥＢ であることが示された。 すなわち、∠ＡＢＣ＜∠ＡＣＢ　であれば、ＦＣ＜ＥＢ　であることが示された。これが求めるものである。 なお、○ＦＥＣが線分ＢＣと交わるＣ以外の点ＱがＢＣの延長上であれば、上記の展開を次のように変えればよい。 　　　　★１　　＜∠ＦＰＥ＋∠ＥＣＱ 　　　　★２　　＝∠ＦＰＥ＋∠ＥＦＱ 以上 ［木下解］ 　点ＥよりＢＣに平行な線を引きＡＣとの交点をＦとするとき、点Ｆの位置は、次のいずれかとなる。 　（１）ＡＤ上にある 　（２）Ｄと一致する 　（３）ＣＤ上にある （２）の場合には、△ＤＥＣと△ＥＢＤはともに二等辺三角形となるから、結果としてこの二つの三角形は（三辺が相等しくなり）合同となる。故に、∠Ｂと∠Ｃは等しいことが証明されたことになる。 　後は（１）と（３）の場合について、それぞれ矛盾することを導き、成立しないことを示せればよい。 　まず、∠Ｂ＞∠Ｃ　であると仮定する（逆の場合には三角形の左右を逆転させれば以下の議論がそのまま成立するので、こう仮定しても一般性は失われない）。 （１）の場合 　△ＥＣＢと△ＤＢＣにおいて、二辺の長さがそれぞれ等しく∠ＤＢＣ＞∠ＥＣＢであるから 　　ＢＥ＜ＤＣ …(a) が成立する。 　一方、ＥＦとＢＤの交点をＤ'とすると△ＥＢＤ'と△ＦＥＣはともに二等辺三角形になるので、 　　ＢＥ＝ＥＤ'＞ＥＦ＝ＦＣ＞ＤＣ となる。すなわち、 　　ＢＥ＞ＤＣ である。これは、(a) と矛盾する。 （３）の場合 　点ＤよりＢＣに平行な線を引きＡＢとの交点をＧとするとき、△ＧＢＤと△ＦＥＣはともに二等辺三角形で底辺の長さが等しいから、内角（たとえば∠ＧＢＤと∠ＦＥＣとを比較して）の大きい方が斜辺の長さも大きくなる。したがって、 　　ＧＢ＝ＧＤ＞ＥＦ＝ＦＣ となる。ここで、ＧＤとＥＦは平行であり、三角形（△ＡＧＤと△ＡＥＦ）の底辺をなしているから 　　ＧＤ＞ＥＦ というのは明らかに矛盾である。 Ｑ．Ｅ．Ｄ．

今だから話そう「人種差別」

── アメリカにおける人種差別 ▼人種差別 　アメリカでは、黒人差別の問題が起こると“Black Lives Matter”(BLM)という表現を使って盛んにアピールするようになった。BLMは日本語に翻訳すると「黒人の命も大切だ」という意味になるらしい。何んとも、こなれていない訳ではある。 　「黒人の命“は”大切だ」ではなく「黒人の命“も”・・・」と表現するところが重要なのだそうである。“は”では黒人以外の命は大切ではないのか?! と異論が出てくるから“も”にしたのだという。日本語の表現でこんな議論がなされていると知ったらアメリカの人たちは驚くことであろう。 　英語の“Matter”は「問題」とか「重大な事」という意味だから「大切だ」とか「大事だ」と解釈しても構わないが、ここでは単に「○○問題」として固有名詞のままの方が自然で、かつ使い勝手も良くなるのではないかと思う。 　更に言えば、アメリカにおける人種差別では単に白人が黒人を差別するという単純なものばかりではなくもっと重層的である。同じ白人でもいろいろな人種が混じっている国だから白人間でも差別が存在する。人種とは関係なく貧富の差で差別されたり、差別される者が更に弱い者を見つけて差別するという場合もある。もちろん日本人も差別の対象となっている。 　つまりアメリカにおける人種差別では、すべての階層に渡って何らかの差別が存在している。それらは必ずしも命に係わるものばかりではなく、いじめや嫌がらせ、無実の罪に陥れるといったものまで様々なものが含まれている。そういうものを無視して“Black Lives Matter”と言って黒人への差別だけを取り上げるのはいかがなものかとも思う。したがって日本で言及するときは“黒人”も“命”も省いて単に「人種差別問題」と表現すべきではないかと思うのである。 　私が仕事でアメリカに長期滞在していた頃の体験では、差別の程度は今とたいして変らないように思う(差別に関する私の当時の感度が鈍かったのかもしれないが)。しかしトランプ大統領以降の、あのあからさまな差別的発言や差別的政策には正直、驚かされている。 　たとえば、警官による黒人への差別的な扱いは昔からあった。最近急に数が増えた訳ではない。今まで公になっていなかったものが暴露されるようになっただけのことである。これには日本人のある発明が寄与している。 　携帯電話の技術的進歩の過程でカメラ機能が付加されたのは日本人技術者の努力によるものである。スマホにカメラ機能が常備されるようになった結果、身近に起った出来事の多くは、たまたまその場に居合わせた人のカメラで撮影される機会が増えた。ちょっとした暴行事件でも簡単に映像データとして残されるようになった。 　それまで目撃証言と言えば、警察関係者からのものばかりだったから、事実が隠蔽されることが多かった。それがスマホのお陰で証拠が明るみに出るようになったのである。リアルな映像情報の存在は、想像以上に強力な決め手となることを我々は学んだのである。 ▼私の体験したこと 　アメリカ生活が長くなりいろいろな体験を重ねる内に、気が付くと自分も同じように人を人種で区別し常に警戒的な目で見ていることに気が付いた。 　以下に、私の体験のいくつかを紹介してみよう。 (1)事例１ 　私が滞在していた当時のソフトウェア会社や研究所などでは、技術者同士で議論をしていても黒人の技術者が席を外すと、残った白人がその黒人の悪口を言うという場面によく出くわしたものである。私はそれを聞いていて人種差別の一端に触れたような気がしていやな気持になったものだ。そして、もう少し仲良く出来ないものかと思ったりした。 　後から考えると、当時のアメリカのソフトウェア会社や研究所内の職場では滅多に黒人技術者の姿を見掛けることはなかったような気がする。黒人の女性事務員はよく見かけたが。これも人種差別の結果であることに気が付いたのは、その後十数年経ってからである。 (2)事例２ 　研究所で仕事をしていた当時のことである。日本人技術者３人で夜遅く帰ろうとして駐車場に出て、自分の車の置いてある場所へ向かって歩いていた。夜も遅いので車の数も少なくなっていたので遠くから自分の車が見える。よく見ると車のボディーが何か変にキラキラと光っているようだ。不思議に思って近づくとリアウインドウのガラスがすべて粉々に打ち砕かれてなくなっているではないか。ガラスの破片がボディーの上や車内の後部座席の上一面に散らばっていた。暗くて破片がよく見えないので危険である。後部座席には乗れそうにない状態になっていた。 　昼間、車を駐車させたとき近くで黒人の若者たちがたむろしてこちらを見ていたのを思い出した。「やられた！」証拠はないが彼らの仕業に違いない。 　３人で使っている車なので、全員前の座席に座って私が仲間を順番に自宅まで送って行ったのを覚えている。レンタカー屋で借りた車だから事故保険に入っているので金銭的な被害はないからよいが、悔しい思いだけは残った。 　その他、昼休みに運動を兼ねて街中を歩いていると、遠くから黒人の子供達に石を投げられたこともある。そういうときはいちいち反応せずに無視するに限る。そういうことが度々起こると精神的にかなりタフでないと生きて行けないと思うようになる。そして自然に黒人には警戒心を持つようになっていった。気が付くと自分も差別心をもっていることに気が付いたのである。 　それまでは、夜帰宅してから家の近所をジョギングしたりしていたが、これは極めて危険な行為であることをアメリカの友人に教えられた。以後、夜の運動はしないことにした。 (3)事例３ 　アメリカで生活するには常に車が必要である。長期間の滞在予定が決まっていれば車はリースで借りるのが費用の点で望ましい。しかし私のように技術者として派遣された場合は、滞在期間がはっきり決まっていないことが多い。プロジェクトの成否によって決まるからである。プロジェクトが突然打ち切られる場合もあるから長期間借りるのはかなりリスキーである。 　そこで私は、普通は1ヶ月単位でレンタカーを契約することにしていた(これは会社の指示でもあった)。毎月契約の切れる直前にレンタカー屋へ行って再契約していたのだ。車好きの人なら、いろいろな種類のアメ車に乗りたいと思うだろう。毎月異なる車を借りればよいのだからこんな贅沢な借り方はない。しかし私は仕事の方を優先しなければならない立場だから、安全運転のためには使い慣れた同じ車を使い続ける道を選んだのである。 　あるとき再契約に行くと、レンタカー屋の女性の係員が出て来て私の乗ってきた車をチェックすると言いだした。今までそんなことを要求されたことは一度もない。女性係員は外に出て来て私の乗ってきた車体の周りを一周して観察し始めた。そして「ここにキズがある」とか「ここにも擦った跡がある」と難癖を付け始めたのである。「それは借りたときからあった瑕だ」と主張しても一向に聞き入れようとしない。書類に細かく記入している。明らかに嫌がらせである。東洋人だと差別的に扱われることを私はしばしば経験していた。 　私は黙って見ていることにした。たとえ瑕が付いていても保険でカバーされるから少しも困らないと分かっていたからである。 　書類への記入が終わったところで、彼女は私の契約書を見てある項目を読んで慌てることになった。そこには“Full Coverage”(事故を起こしても全面的に保障される契約)という項目があり、その頭にチェック印が付いているのに気が付いたからである。 　彼女が今作ったばかりの書類をどう扱うか、私は黙って見ていることにした。作った書類が無駄になったときはその人の見ている前で破棄するのがルールである。彼女は悔しそうにその紙を破り捨てたのであった。私は「ザマ～みろ」と言いたかったがグッと堪えた。実は、そんな上品(?)な言葉の英語表現を知らなかったので、何も言えなかったのである。 　後で考えたのだが、あの時、日本語でよいから「ざまあみろ」と叫んでいたら、かなりの鬱憤を晴らすことができたのにと思った。私は、悔しいときは日本語で叫んで憂さを晴らすとよいことを、このとき学んだのであった。 ▼企業人の注意すべきこと 　本稿ではアメリカにおける「人種差別」を取りあげた。この程度のことならなぜ今まで取りあげなかったのかと疑問に思う人がいるかもしれない。 　アメリカでの人種差別については、これまで私はエッセイの類いでは触れたことがない。それは企業人として触れてはならないテーマだったからである。その理由は、東芝のようなワールドワイドに事業を展開している会社の一員である以上は、他国の恥部に触れるようなことを書いてはいけないことになっていた。たとえ書く場所が社内報のような内輪のものであっても、現地法人に勤めているその国の人たちもまた会社の一員なのである。彼らが読んで気を悪くする可能性のある記事の取り扱いに関しては慎重でなければならない。 　そのために、社外に文書を発表する際は必ず会社の許可を得てから発表する規則になっている。 　最近のように、ネット上でSNS等に気楽に投稿する人が多い時代では、余計なことを“つぶやいて”何かと物議を醸して世間を騒がせている人が多いのは周知のとおりである。企業に属する方々は、社外に公開する文書の管理について増々扱い難くなる時代に生きていることを自覚し、油断なさらぬよう注意されたい。